평행축 정리 - 단면 2차 모멘트 변화 / 극관성모멘트의 변화

단면 1차 모멘트와 단면 2차 모멘트의 개념을 가지고, 평행축 정리를 설명 할 수 있습니다.

우선 말 그대로 축과 평행하는 평행축과의 관계를 설명해주는데 살펴보면,

위 그림에서 미소 단면적 dA에서 x' (도심을 지나는 축) 까지의 거리를 y', x축에서 x'축까지의 거리를

D라고 할때, x축에 관한 단면 2차 모멘트 \(I_x\) = ∫\(y^2\)dA를 만족합니다.

이때 y=y'+D이므로 식에 대입하면 \(I_x\) = ∫\((y'+D)^2\)dA = ∫\(y'^2\)dA + 2∫y'dA + \(D^2\)∫dA

인데, 2∫y'dA 은 도심을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트이므로 그 값이 0 이 됩니다.

따라서 ∫\(y'^2\)dA + 2∫y'dA + \(D^2\)∫dA = ∫\(y'^2\)dA + \(D^2\)∫dA = \(I_x'\) + A\(D^2\)이 됩니다.

따라서 \(I_x\) = \(I_x'\) + A\(D^2\) 이 됩니다.

이것은 같은 방식으로 극관성 모멘트에 적용되어

\(J_o\) = \(J_c\) + A\(D^2\) 이 됩니다.