단면 2차 모멘트와 극관성 모멘트, 극관성모멘트 유도

1차 모멘트에 이어 단면 2차 모멘트도 다뤄보도록 하겠습니다.

\(I_x\) = ∫\(y^2\)dA로 정의 되는 단면 2차 모멘트는 수직거리의 제곱에 미소단면적을 곱해 적분해 준 값입니다.

이때 미소단면까지의 거리가 \(\rho\)라면 (\(x^2+y^2\))

극관성 모멘트 또한 정의할 수 있습니다.

극관성 모멘트는 \(J_o\)로 나타내며 아래첨자의 o는 o에 대한 모멘트 값이라는 뜻 입니다.

\(J_o\) = ∫\(\rho^2\)dA 라는 식이 나오게 됩니다.

∫\(\rho^2\)dA = ∫\(x^2\)dA + ∫\(y^2\)dA 이므로 \(J_o\) = \(I_x\) + \(I_y\) 가 됩니다.

이때 단면 A의 x축에 대한 회전반지름 \(r_x\) 에 대해

\(I_x\) = \(r_x^2\)A가 성립합니다.

따라서 \(r_x\) = √\(frac{\(I_x\)}{A}\) 이 됩니다.

또한 \(J_o\) = \(r_o^2\)A 이므로

\(r_o^2\) = \(r_x^2\) + \(r_y^2\) 가 됩니다.

이 직사각형 단면의 x축에 대한 2차 모멘트를 구해보면

dA=bdy 이므로

\(I_x\) = ∫\(y^2\)dA = \(\int_{h/2}^{-h/2}\)\(y^2\)bdy = \(\frac{bh^3}{12}\) 가 됩니다.

이때 \(I_x\) = \(r^2\)A

 

원형 단면에서 살펴보면 dA = 2π\(\rho\)d\(\rho\) 입니다.

따라서 여기서 극관성 모멘트 \(J_o\) = \(\int_{0}^{c}\)\(\rho^2\)(2π\(\rho\)d\(\rho\)) = \(\frac{πc^4}{2}\)

이렇게 해서 원형 단면의 극관성 모멘트가 \(\frac{πc^4}{2}\) 임을 유도할 수 있습니다.