공간군 (3) - 나선조작과 영진조작 심화

 

 

 

 

나선조작과 영진조작은 보통의 병진조작과의 합성과는 다른 특성들을 갖게 됩니다.

이번 포스팅에서는 그 자세한 특성에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

1. 나선조작 심화

6회 회전조작을 예를 들어 보겠습니다.

6회 회전조작의 경우 한번 수행하면 60˚ 만큼 회전하게 됩니다.

이 조작을 6번 수행할 경우 원래 상태로 돌아오는데, 

이것은 즉 회전조작이 닫힌다는 뜻입니다.

이것을 나선조작의 관점에서 생각해보면, 기본 회전각으로 1회 회전한 다음 (\(R^1\))

회전축을 따라 1회 병진하게 됩니다. (\(\tau^1\)) -> 1회 나선조작=(\(\tau^1\)\(R^1\))

이러한 나선조작을 (\(\tau^p\)\(R^p\)) 계속해서 시행하면 원 집합이 포함하지 않는 요소를 

계속해서 생성해내는데, 따라서 나선조작은 군이 아닌 유군을 만든다고 말합니다.

나선조작은 격자 병진과 결합하여 무한집합을 이루게 됩니다.

나선조작에서 회전축을 따라 이동하는 기본거리가 \(\tau\) 이면, 나선조작을

반복수행하면 병진한 거리는 수행 횟수가 n일때 n\(\tau\)입니다.

이 값은 격자 위에서만 이뤄지므로 단위병진인 T의 정수배가 되어야 합니다.

이러한 나선대칭의 유형은 총 11가지가 되게 됩니다.

 

 

2. 영진조작 심화

 

 반영조작은 두번 수행할 경우 원래 상태로 돌아오게 됩니다. 

이것은 즉 반영조작은 닫힌다는 뜻입니다.

영진조작의 경우 한번 반영 후 반영면에 평행하게 병진하게 되는데, 

이 조작은 나선조작과 마찬가지로 군이 되지 못하고 유군이 됩니다.

따라서 영진조작은 무한집합이 됩니다.

영진조작에서 한번 병진으로 이동하는 거리를 g라고 할때 원래의 상태로 돌아오는데 걸리는 거리는

2g가 됩니다.

이 거리 또한 격자위에서만 이루어 지므로 단위병진 T의 정수배가 되어야 합니다.