공간군 (1) - 반전조작+병진조작 / 회전조작+병진조작

 

 

 

점군은 결정에서 최소단위의 원자 무리가 공간또는 선,면에서 보이는 반복성을 나타냅니다.

이러한 반복성이 공간에서 어떻게 대칭되는지를 알기 위해서 점군의 대칭과 격자의 대칭을 함께 알아야만 합니다.

 

우선 점군의 기본 대칭조작에는

반전조작 / 회전조작 / 반영조작 이 있고

격자의 기본 대칭조작에는

병진조작이 있습니다.

이러한 점군의 대칭조작과 격자의 대칭조작을 순차적으로 수행하면 합성조작이 생기는데,

이 합성조작이 대칭조작이 되기 위해서는 이 조작이 연속하여 진행하면 격자점마다 닫혀야 합니다.

그렇다면 합성되는 조작에 대해 알아봅시다.

 

 

(1) 반전조작과 병진조작의 합성

반전조작 (\(i^1\)) 과 병진조작 (T)을 순차적으로 수행하면 반전조작이 병진하여 퍼져나가게 됩니다.

이 합성조작을 연속해서 수행하면 반전대칭이 공간으로 퍼져나가게 됩니다.

여기서 주의할점은 공간에서 반전대칭이 병진할 경우 단위병진의 \(\frac{1}{2}\) 인 위치마다 새로운

반전대칭이 생기게 됩니다. 이러한 합성조작은 격자점마다 닫히게 됩니다.

반전조작 + 병진조작

위 그림과 같이 \(i^1\) 이 병진되며 \(\frac{1}{2}\)T마다 새로운 반전 조작이 생기게 되는 것입니다.

 

(2) 회전조작과 병진조작의 합성

회전조작과 병진조작을 순차적으로 수행할 경우 회전조작이 병진하여 나가게 됩니다.

회전조작은 회전축이 존재하게 되는데, 이 때 회전축에 평행하여 병진하는 경우와

회전축에 수직하여 병진하는 경우 두가지로 나뉘게 됩니다.

두가지 경우를 나누어서 살펴보겠습니다.

우선 병진조작이 회전축에 평행하는 경우

회전조작 + 병진조작 (회전축에 평행) 

위의 그림과 같이 회전축이 있고 이때 그림에서 중간의 선이 2회전축입니다. 따라서 이때는 단순하게

축을따라 병진하게 되는데,

이것을 표현하면 {E , T*2}입니다. 이 경우 {T}와의 바로곱을 통해 집합으로 만들 수 있습니다.

이러한 표현이 바로 T*2가 계속해서 병진한다는 뜻입니다.

그런데, 회전축에 평행하여 병진할때 격자병진이 아닌 경우에도 격자점마다 닫힐 수가 있습니다.

회전조작 + 병진조작 (회전축에 평행)

이 경우 그림과 같이 병진합니다. 

회전조작이 이뤄지며 각각 위, 아래로 표현되며 병진합니다.

이러한 조작을 나선조작, 나선회전 이라고 하고 나선 회전 대칭의 대칭요소는 나선축이 됩니다.

두번째로 회전축에 수직하여 병진하여 합성할 경우

회전조작 + 병진조작(회전축에 수직하여)

이 경우 동그라미 마다 회전축이 뚫고 들어가는 모양새 인데, 직선을 따라 병진하며 \(\frac{1}{2}\)의 지점마다 

새로운 회전축을 생성하게 됩니다. (2')