비틀림 (5) - 비 원형 부재의 비틀림 - 균일 직사각형 단면 / 얇은 비원형 중공축 / 전단 흐름

 

 

 

지금까지는 원형축에 대한 비틀림을 알아보았다.

원형축의 경우 토크를 받게 되어 비틀려도 단면이 평면을 유지한다. 

하지만 사각형 봉의 경우 단면 또한 비틀리게 되어 축 대칭을 유지하지 못한다.

따라서 앞서 알아본 원형축의 비틀림 공식을 비 원형 부재에서는 사용하지 못한다.

예를들어 원형축에서의 전단응력은 모서리에서 최댓값을 가진다.

하지만 정사각형 단면에서는 모서리에서 전단응력은 0이 된다.

그림을 통해 살펴보자.

τyz는 y축과 수직하게 z축 방향으로 작용하는 전단응력

τyx는 y축과 수직하게 x축 방향으로 작용하는 전단응력이다.

이때 y축과 수직한 단면 모서리의 응력은 자유면이므로 0이다. 따라서

τyz=τyx=0이다.

마찬가지로

τxy=τxz=τzx=τzy=0이다.

따라서 봉 단면 모서리에는 전단응력이 존재하지 않는다.

봉의 각 면의 중앙선을 따라 변형이 최대가 되고 응력도 최대가 되는 것이다.

균일 직사각형 단면을 예로 들어 생각해 보자.

그림과 같이 균일 직사각형에 T가 작용한다 할때

\(τ_{max}\)= \(\frac{T}{c_1ab^2}\)가 된다.

또한 비틀림 각 ∅=\(\frac{TL}{c_2ab^3G}\) 가 된다.

여기서 c1과 c2는 계수이며 이 값은 a와 b의 비율에 따라 실험적으로 결정되어 있다.

a/b≥5일때에는 c1=c2=1/3(1-0.630b/a)로 구할 수 있다.

 

얇은 벽의 중공축의 경우 근사적인 응력분포를 구할 수 있다.

두께 t가 축 단면 내에서 변화하며 부재의 다른 치수에 비해 매우 작다고 할때

그림과 같이 얇은 (두께t) 중공축의 종방향 AB의 부분을 떼어 생각해보면

축방향 (횡) 으로 작용하는 힘은 FA와 FB이다. 이때 지금 이 부분은 평형이므로

FA-FB=0이 된다.

이때 이 떼어낸 부분의 축길이를 △x라고 하면

\(F_A\)=\(τ_{A}\)(\(t_A\)△x)이 된다. (전단면 넓이 \(t_A\)△x )

따라서 \(τ_{A}\)(\(t_A\)△x)-\(τ_{B}\)(\(t_B\)△x)=0이고

\(τ_{A}\)\(t_A\)=\(τ_{B}\)\(t_B\)이다.

따라서 이 부재에서 모든 부분에 대해

τt=constant

τt=q 라할때 이것을 전단흐름이라고 한다.