행렬 (1) - 행렬은 무엇인가 / 행렬의 성질 / 3X3 행렬 계산 / 행연산 / 행간교환 / 고유값과 고유벡터

 

 

 

3X3행렬을 예를 들어,

 

로 두자

 

이렇게 행과 열으로 풀어서 나타낸 것이 행렬이라고 하는데,

 

1. 성분 : \(a_{11}\), \(a_{12}\) ... 등

 

2. 행 : 수평선

 

3. 열 : 수직선

 

4. 이중 아래첨자 표기 : a성분 오른쪽 작은 첨자 2개 -> 앞쪽이 행, 뒤쪽이 열을 나타냄

따라서 예를 들어 a12는 1행 2열의 성분이 된다.

 

5. 주대각선 : 대각선의 성분으로, A행렬에서는 \(a_{11}\),\(a_{22}\),\(a_{33}\) 의 성분

 

6. 행렬의 성질 :

 

(1). 덧셈에 대한 교환법칙이 성립한다. A + B = B + A

주의) 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다. AB ≠ BA

(2). 덧셈에 대한 결합법칙이 성립한다. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

(3). 곱셈에 대한 결합법칙이 성립한다. A(BC) = (AB)C

(4). 분배법칙이 성립한다. A(B+C) = AB+AC

 

 

7. 3X3행렬을 2X2행렬로 바꾸는 방법

위와 같이 A행렬의 성분을 표시하면 위와 같은 방법으로 전개하여 바꿀 수 있다.

 

8. 행연산

 

1) 행간 교환이 성립한다. (행간 교환시 부호 바뀜)

2) 한행 X K (≠0) + 다른 행

 

 

행연산을 통해 복잡한 형태의 행렬을 간단히 변환할 수 있는데,

예를 들어 3X3행렬을 2X2행렬로 변환할 때 위의 변환 방법에서 b성분과 c성분을 0으로 만들어 준다면

굉장히 편하게 계산할 수 있을 것이다.

 

9. 고유값과 고유벡터

 

A행렬을 nXn 행렬이라고 할 때 방정식

Ax = λx 를 생각해본다. ( λ = 스칼라값 / x = 벡터값 )

고유값 = 위 식을 성립하는 λ값

고유벡터 = 고유값에 대응하는 x벡터

우항을 이항하면 Ax-λx = 0 --> (A-λI)x = 0

A-λI = 0 이 되도록 하는 것이 특성행렬식이라고 하고

그 행렬을 푼 방정식을 특성방정식이라고 한다.