라플라스 / Laplace 변환의 기초

라플라스는 간단함의 귀재라는 별명을 가진 수학자였습니다.

그는 자신의 이름을 딴 Laplace변환이라는 공식을 만들어냈고 이는 공학적으로 굉장히 유용하게 

사용되어지고 있습니다.

라플라스 변환은  우선 \(\mathcal{L}(f(t))\) = \(\int_{0}^{∞}e^{-st}f(t)dt\) 로 정의되어 있습니다.

f(t) 의 t≥0 이고 s는 양수 입니다.

여기서 만약 f(t) = \(e^{t^2}\) 일 경우 라플라스 식의 \(e^{-t}\) 로는 제어되지 않습니다.

따라서 f(t)값이 적절한 값이어야 하죠.

따라서 lf(t)l ≤ M\(e^{kt}\) 이면 제어가능하고 따라서 변환이 가능합니다.

자 이제 라플라스 변환의 예시들을 하나하나 알아보도록 하겠습니다.

첫번째로 다항함수의 경우

\(\mathcal{L}(1)\) = \(\int_{0}^{∞}e^{-st}*1dt\) = \(\frac{1}{s}\) 

\(\mathcal{L}(t)\) = \(\int_{0}^{∞}e^{-st}*tdt\) = \(\frac{1}{s^2}\)

\(\mathcal{L}(t^2)\) = \(\int_{0}^{∞}e^{-st}*t^2dt\) = \(\frac{2!}{s^3}\)

... \(\mathcal{L}(t^n)\) = \(\int_{0}^{∞}e^{-st}*t^ndt\) = \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) 이 됩니다.

그리고 지수함수의 경우

\(\mathcal{L}(e^{at})\) = \(\int_{0}^{∞}e^{-st}*e^{at}dt\) = \(\frac{1}{s-a}\) 

삼각함수의 경우

\(\mathcal{L}(coswt)\) = \(\frac{s}{s^2+w^2}\) 

\(\mathcal{L}(sinwt)\) = \(\frac{w}{s^2+w^2}\)

복소수일때

\(\mathcal{L}(e^{iat})\) = \(\mathcal{L}(cosat+isinat)\) = \(\mathcal{L}(cosat)\) + i\(\mathcal{L}(sinat)\)

= \(\frac{s}{s^2+w^2}\) + \(\frac{iw}{s^2+w^2}\) = \(\frac{s+iw}{s^2+w^2}\) = \(\frac{1}{s-ia}\) 가 됩니다.

그 외에도 여러가지가 있습니다.

이 값은 유도해내어 얻을 수 있습니다.