Legendre 방정식 / 르장드르 방정식 풀이법과 특징 / 르장드르 다항식

 

르장드르 방정식은

(1-\(x^2\))y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0 이라는 특별한 형태의 미분 방정식입니다.

여기서 거듭제곱급수 해법을 사용하기 위해 y = \(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^m\)로 치환해주겠습니다.

이때 수렴반경은 (1-\(x^2\))y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0  에서 중심 \(x_0\) = 0 으로 -1<x<1 이 됩니다.

y = \(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^m\)

y' = \(\sum_{m=1}^{∞}ma_mx^{m-1}\)

y'' = \(\sum_{m=2}^{∞}m(m-1)a_mx^{m-2}\) 이고, 이를 본 식에 대입하면

(1-\(x^2\))\(\sum_{m=2}^{∞}m(m-2)a_mx^{m-2}\) + \(\sum_{m=1}^{∞}(-2)ma_mx^{m}\) + n(n+1)\(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^m\) = 0

입니다. 첫번째 항을 전개하여 쓰면

\(\sum_{m=2}^{∞}m(m-2)a_mx^{m-2}\) + \(\sum_{m=2}^{∞}(-1)m(m-2)a_mx^{m}\) + \(\sum_{m=1}^{∞}(-2)ma_mx^{m}\) + n(n+1)\(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^m\) = 0

입니다.

이제 항마다 최저차항을 찾아줍니다.

위의 식에서 순서대로 \(x^0\) , \(x^2\) , \(x^1\) , \(x^0\) 입니다.

그렇다면 최저차항부터 계수를 찾아주겠습니다.

\(x^0\) 이 나올수 있는 항은 1번째와 4번째 항 입니다. -> 2*1*\(a_2\) + n(n+1)\(a_0\) 입니다.

\(x^1\) 이 나올수 있는 항은 1번째, 3번째, 4번째 항 입니다. -> 3*2*\(a_3\) -2*1\(a_1\) + n(n+1)\(a_1\)

\(x^2\) 이상부터는 모든 항에서 나올 수 있으므로, 일반화를 해주겠습니다.

\(x^s\) = (s+2)(s+1)\(a_{s+2}\) - s(s-1)\(a_s\) - 2s\(a_s\) + n(n+1)\(a_s\)  (단 s≥2) 

이때 본 식의 우항이 0 이므로 모든 항이 0 이 되어야 합니다.

2*1*\(a_2\) + n(n+1)\(a_0\) = 0  -> \(a_2\) = \(\frac{-n(n+1)}{2!}\)\(a_0\)

3*2*\(a_3\) -2*1\(a_1\) + n(n+1)\(a_1\) = 0  -> \(a_3\) = \(\frac{-(n-1)(n+2)}{3!}\)\(a_1\)

(s+2)(s+1)\(a_{s+2}\) - s(s-1)\(a_s\) - 2s\(a_s\) + n(n+1)\(a_s\)  = 0 (단 s≥2)

\(a_{s+2}\) = \(\frac{-(n-s)(n+s+1)}{(s+2)(s+1)}\)\(a_s\) 이 됩니다.

따라서 일반해 y = \(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^m\) 에서

y = \(a_0\) + \(a_1x^1\) + \(a_2x^2\) + ... 인데,

이는 \(a_0\)( 1+□\(x^2\) + □\(x^3\) +...) + \(a_1\)( x+□\(x^3\) + □\(x^5\) +...) 로 

짝수지수항과 홀수지수항으로 나뉘게 됩니다.

이때 \(a_0\)항과 \(a_1\)항은 나누었을때 상수가 아니므로 기저 입니다.

따라서 일반해는 y = \(a_0\)( 1+□\(x^2\) + □\(x^3\) +...) + \(a_1\)( x+□\(x^3\) + □\(x^5\) +...)

이때 \(a_{s+2}\) = \(\frac{-(n-s)(n+s+1)}{(s+2)(s+1)}\)\(a_s\) 인데, 예를들어 n=6이라면 

\(a_8\) 이후로 짝수지수항은 다 0 이 되기 때문에 간단하게 정리할 수 있다는 특징을 가집니다.

 

이때 르장드르 다항식은

\(p_n(x)\)로 표현되며 \(\sum_{m=0}^{M}□x^{n-2m}\)

 

이고 M의 값은 n이 짝수일때 \(frac{n}{2}\) 이고 n이 홀수일때 \(\frac{n-1}{2}\) 가 됩니다

예를들어 \(p_7(x)\) = \(\sum_{m=0}^{3}\)□\(x^{7-2m}\) 이 됩니다.