Bessel 방정식 / 베셀 함수

 

 

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Frobenius 해법 / 프로베니우스

거듭제곱 해법의 확장으로 프로베니우스 함수에 대해 지난 포스팅에서 알아보았습니다.

프로베니우스 해법을 통하면, 하나의 해에 대한 정보를 얻을 수가 있었습니다.

이때 베셀함수라는 형태를 통해 일반해를 구할 수 있고, 더 나아가 미분이나 적분 그리고 n값이 달라지며 많은 정보를 얻을 수 있습니다. 이번 포스팅에서는 베셀 함수에 대해 알아보겠습니다.

우선 베셀방정식의 형태는

\(x^2y'' + xy' + (x^2 - \upsilon^2)y = 0 \) 의 형태입니다.

이때 \(\upsilon\) 은 0 이상의 실수 입니다.

프로베니우스 해법을 따라 y(x) = \(x^r\)\(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^m\) (a≠0) 을 사용해줍니다.

그리고 y를 미분하여 베셀함수에 대입하면

\(\sum_{m=0}^{∞}(m+r)(m+r-1)a_mx^{m+r}\) + \(\sum_{m=0}^{∞}(m+r)a_mx^{m+r}\) + \(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^{m+r+2}\) - \(\upsilon^2\)\(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^{m+r}\) = 0 이 됩니다.

최소차항 \(x^{r}\) 값은 r(r-1)\(a_0\) + r\(a_0\) - \(\upsilon^2a_0\) 가 되고

\(r^2a_0 = \upsilon^2a_0\) 이고 r = ±\(\upsilon\) 임을 알 수 있습니다.

이때 두 값중 큰값인 r = \(\upsilon\) 을 선택하여

대입하면

\(\sum_{m=0}^{∞}(m+\upsilon)(m+\upsilon-1)a_mx^{m+\upsilon}\) + \(\sum_{m=0}^{∞}(m+\upsilon)a_mx^{m+\upsilon}\) + \(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^{m+\upsilon+2}\) - \(\upsilon^2\)\(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^{m+\upsilon}\) = 0

가 되고 \(x^{\upsilon+1}\) 의 계수를 구하면

\((\upsilon + 1)(\upsilon)a_1 + (\upsilon+1)a_1 - \upsilon^2a_1\) = 0

(\(2\upsilon + 1)a_1\) = 0  --> \(a_1\) = 0 임을 알 수 있습니다.

이 이후의 항들은 모든항에서 나오므로 일반화 하여 정리하면

\(x^{s+\upsilon}\) 의 계수비교로 (\(\upsilon^2+2{\upsilon}s)a_s + a_{s-2} = 0\) 을 얻게 됩니다.

\(a_s\) 와 \(a_{s-2}\) 의 관계를 얻었으므로 a의 짝수항만 알면 될 것입니다. (\(a_1\) = 0 이므로)

따라서 정리해보면, \(a_{2m}\) = \(\frac{(-1)^ma_0}{2^{2m}m!(\upsilon+1)(\upsilon+2)...(\upsilon+m)}\) 을 얻을 수 있습니다.

이제 생각해보아야 할 미지수가 \(\upsilon\) 인데, 이 값은 0 이상의 실수라고 하였습니다.

먼저, 정수일 경우를 생각해보겠습니다. \(\upsilon\)의 정수값을 n으로 표기하겠습니다.

\(a_{2m}\) = \(\frac{(-1)^ma_0}{2^{2m}m!(n+1)(n+2)...(n+m)}\) 이 되었습니다.

이때 그럼 상수 \(a_0\) 의 값을 적당히 선택하여 일반화하기 좋게 하기위해

\(a_0\) = \(\frac{1}{2^nn!}\) 으로 나타냅니다.

그럼 \(a_{2m}\) = \(\frac{(-1)^m}{2^{2m+n}m!(n+m)!}\) 이 됩니다.

그럼 이 함수의 일반해는 \(J_n(x) = x^n\sum_{m=0}^{∞}\frac{(-1)^m}{2^{2m+n}m!(n+m)!}x^{2m}\) 이 됩니다.

이러한 함수를 n차 1종 베셀함수가 됩니다.

베셀함수는 삼각함수처럼 파동을 가지며 감소하게 되는데 이때 베셀방정식의 y'/x 가 감쇠항의 역할을 하게 됩니다.

\(J_n(x)\)는 √\(\frac{2}{πx}cos(x-\frac{nπ}{2}-\frac{π}{4})\) 로 근사하게 됩니다.

자 지금까지 알아본 베셀함수는 \(\upsilon\) = 정수영역이었습니다.

그렇다면 실수영역으로 확장을 해주어야하는데, 정수영역에서 알아보니, 팩토리얼이 있었습니다. 이에 착안하여

감마함수를 도입해줍니다.

감마함수는 팩토리얼을 표현할 수 있는 함수인데, 실수영역에서도 사용 가능합니다.

감마함수는 표현하면 \(\Gamma(\upsilon+1)\) = \(\int_{0}^{∞}e^{-t}t^{\upsilon}dt\) 입니다.

또 우항을 적분하여 감마함수의 함수관계

\(\Gamma(\upsilon+1) = \upsilon\Gamma(\upsilon)\) 를 유도해낼 수 있습니다.

또 감마함수는 \(\Gamma(\upsilon)\) 으로 표현하기 위해 

\(\Gamma(\upsilon)\) = \(\int_{0}^{∞}e^{-t}t^{\upsilon-1}dt\) 로 나타낼 수 있습니다.

따라서

\(a_{2m}\) = \(\frac{(-1)^m}{2^{2m+\upsilon}m!\Gamma(m+\upsilon+1)}\)

이때 베셀함수는 \(J_{\upsilon}(x) = x^{\upsilon}\sum_{m=0}^{∞}\frac{(-1)^mx^{2m}}{2^{2m+\upsilon}m!\Gamma(\upsilon+m+1)}\) 으로 표현할 수 있습니다.

이때 \(J_\upsilon(x)\)를 \(\upsilon\)차 제1종 베셀함수 라고 합니다.

이때 \(\upsilon\) 값이 정수가 아니라면 r=±\(\upsilon\) 값의 베셀함수가 서로 독립이라 일반해

y(x) = \(c_1J_{\upsilon}(x) + c_2J_{-\upsilon}(x)\)를 얻게 됩니다.