Frobenius 해법 / 프로베니우스

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Legendre 방정식 / 르장드르 방정식 풀이법과 특징 / 르장드르 다항식

지난 포스팅에서 르장드르 방정식을 통해 거듭제곱 해법에 대해 알아보기 시작했습니다.

이번 포스팅에서는 이러한 거듭제곱 해법에 대해 더 나아가 Frobenius 해법이라는 것을 알아 보겠습니다.

Frobenius 해법은 현대에 들어 여러가지 소프트웨어에서 계산식으로 사용하기 위해 더욱 중요해졌습니다.

우선 상미분방정식에서 오일러-코시 방정식 형태인 \(x^2\)y'' + b(x)y' + c(x)y = 0 에 대해 알고 계실 것입니다.

이 해법을 그대로 적용한 것인데, Frobenius는 이것의 일반적인 형태인

y'' + \(\frac{b(x)y'}{x}\) + \(\frac{c(x)y}{x^2}\) = 0 으로 표현되어

르장드르와 달리 일반해가 아닌, 적어도 한 해에 대한 정보를 얻어내는 것이 목적인 해법입니다. 여기서 포인트는 

b(x) 와 c(x) 가 0에서 해석적인 함수 (멱급수전개 (R>0) 이 가능함) 라는 것입니다.

따라서 b(x) = \(\sum_{m=0}^{∞}b_mx^m\) , c(x) = \(\sum_{m=0}^{∞}c_mx^m\)로 표현 가능할 것입니다. 

여기서 한 해를 y(x) = \(x^r\)\(\sum_{m=0}^{∞}a_mx^m\)  (a≠0) 으로 생각해줍니다.

그렇다면  y'(x) = \(\sum_{m=0}^{∞}(m+r)a_mx^{m+r-1}\)

y''(x) = \(\sum_{m=0}^{∞}(m+r-1)(m+r)a_mx^{m+r-2}\) 가 될 것입니다.

이때 나온 식들을 본식에 대입하고 최소차항의 계수를 비교해주면, 

r(\(r_0\)-1) + \(b_0\)r + \(c_0\) = 0 이라는 값이 나오게 됩니다.

이러한 Frobenius 를 확장하여 Bessel 함수에 대해 다음 포스팅에서 알아보도록 하겠습니다.