비틀림 (1) - 우력/비틀림힘/토크/비틀림축/탄성영역에서의 응력/탄성비틀림/극관성모멘트

 

 

 

비틀림을 받는 기계부품 등을 살펴보기 위해 먼저 우력이라는 개념을 알아보자.

그림으로 먼저 보겠다.

그림과 같이, 수직거리 d만큼 떨어져서 작용하는 크기가 같고 방향이 다른 두힘을 우력이라고 한다.

비틀림은 여러가지 구조물에서 받게 되는데, 전동축을 예시로 들어 생각해보자.

터빈A와 전동축 AB 발전기B로 구성된 전동축이다.

터빈이 돌아가며 우력(토크) T를 발생시키고, 이 축이 다시 발전기에 같은 T를 전달한다.

그러면, 이 발전기가 다시 전동축에 크기가 같고 방향이 반대인 T'의 우력을 발생시킨다. 그러면, 이 축이 터빈에 다시 T'만큼의 우력을 전달한다.

이러한 방식으로 우력이 발생함을 알아보았다.

 

그렇다면, 이번에는 축AB에서 크기가 같고 방향이 서로 반대인 토크 T와 T'을 받는 상황을 생각해보자.

이때 축 AB의 임의의 점 C를 지나고 축선에 수직한 단면을 생각해보면 

이러한 모습으로 미소 전단력이 생길것이다.

이 전단력은 AC부분에서 BC부분에 미치는 영향으로 생기는 전단력이다.

이때 이 단면의 중심까지의 거리를 ρ라고 하면

모멘트의 합을 토크 T로 나타내면

∫ρdF=T가 된다. 

또한 τ=\(\frac{F}{A}\) 이므로 F=Aτ이고 

∫ρdF=∫ρ(dA)τ가 된다.

이렇게 한쪽이 고정되어 있는 원형축을 생각했을때

토크 T가 작용하여 A에서 A'으로 비틀어진다고 하자.

이때 비틀림 후에도 단면은 원형 단면을 유지하게된다.

하지만 단면이 사각형일 경우에는 사각형 단면을 유지할 수 없을 것이다.

이때 A'AB을 때서 생각해보면

tanγ=\(\frac{AA'(호의길이)}{L}\) 일 것이다.

그 값이 작다면 tanγ=γ로 생각해볼 수 있다.

따라서 γ=\(\frac{\rho\phi}{L}\) 이고 

Lγ=ρ∅이다.

만약 ρ=c일때 γ값이 최대라면

\(\gamma_{max}\)=\(\frac{c\phi}{L}\) 이 되게 된다.

따라서 γ=\(\frac{\rho\gamma_{max}}{c}\) 이다.

이 식은 중심으로부터 ρ만큼 떨어진 곳의 전단변형률을 의미한다. 

 

여기서 축을 탄성 영역에서만 생각하여 살펴보자.

전단응력과 변형률에 대한 훅법칙으로, τ=Gγ 이다. (G=전단탄성계수)

위에서 나온 식에 G를 곱해주면

Gγ=G\(\frac{\rho\gamma_{max}}{c}\)

이는 τ=\(\frac{\rho\tau_{max}}{c}\) 가 되게 된다.

따라서 탄성영역내에서는 축의 전단응력이 축 중심으로부터 ρ에 따라 선형적으로 변한다.(ρ가 최대일때 전단응력 최대)

원형 중공축인 경우를 생각해보자. (중심에 빈공간이 존재)

 

이 경우 안쪽 반지름 c1인 부분에서 전단응력이 최소일 것이고

바깥 반지름 c2인 부분에서 최대가 될 것다.

이때 관계식을 보면

\(\tau_{min}\) = (\(\frac{c_1}{c_2})\)*\(\tau_{max}\) 가 된다.

따라서 T = ∫ρ(dA)τ = \(\frac{\tau_{max}}{c}\) * ∫\(\rho^2\)dA

∫\(\rho^2\)dA = 극관성모멘트 J이므로

T = \(\frac{\tau_{max}}{c}\)*J이고

\(\tau_{max}\)=\(\frac{Tc}{J}\)

τ = \(\frac{T\rho}{J}\)

반지름c인 원에 대한 극관성모멘트 J = \(\frac{πr^4}{2}\)이다.