슈뢰딩거 방정식 (3) - 무한 퍼텐셜 우물 ( infinite potential well)/ 불확정성 원리

지난 포스팅에서 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식을 알아봄으로써, 전반적인 슈뢰딩거 방정식의 느낌을 알아보았습니다.

이젠 전자가 일정한 영역에 갇혀 있는 조건이라고 생각해보겠습니다.

슈뢰딩거 방정식에서는  위치에너지 V에 대한 전자의 행동을 볼 수 있었는데, 

만약 전자가 0<x<a라는 영역에 갇혀 있고 내부의 위치에너지는 0, 그 외부는 위치에너지가 무한이라고 가정하면, 전자는 그곳에서 빠져나갈 수가 없습니다.

쉽게 생각해보도록 하겠습니다. 위의 그림처럼, 빨간 전자가 언덕을 오르락 내리락 한다고 했을때, 언덕의 높이가 위치에너지에 의해 결정되고, 그 위치에너지가 무한이라면, 전자는 그 안에 갇히게 되는 것입니다.

이때를 그림으로 살펴보면, (1차원 이라고 생각)

다음과 같이, V=0인 0<x<a 속에 전자가 있는 셈 입니다.

그렇다면, 1차원 슈뢰딩거 방정식 

\(\frac{d^2\psi}{dx^2}\) + (2m/ħ)*(E-V)\(\psi\)=0 에서 V=0이므로

\(\frac{d^2\psi}{dx^2}\) + (2m/ħ)*(E)\(\psi\)=0 가 됩니다.

이는 2계 선형 미분 방정식으로 풀이가 가능합니다.

 

전자가 무한 퍼텐셜 우물 안에 있을 경우 전자의 위치가 제한되어 있어 불확정도가 정해있지만

(여기서 만약 전자가 0<x<a에 갇혀있다면 불확정도 a)

정확히 그 중 어디에 있는지 알 수는 없습니다.

운동량 p=ħk (ħ=h를 2\(\pi\)로 나눈값, k=파수(\(\frac{1}{\lambda}\)))인데, 양의 방향 으로 ħk,

음의 방향으로 -ħk이므로 \(\triangle p_x\)=2ħk 입니다.

따라서 불확정도 \(\triangle p_x\)=2ħk가됩니다.

n=1인 바닥상태에서는 ka=\(\pi\) 라고 합니다.

따라서 k=\(\frac{\pi}{a}\)가 되고 \(\triangle p_x\)=2ħ\(\frac{\pi}{a}\)가 됩니다.

이제, a=\(\triangle x\)라고 하게 되면 (위치상의 값이므로)

\(\triangle p\)\(\triangle x\)는 2\(\pi\)ħ=h가 됩니다.(ħ는h를\(2\pi\)로나눈값)

즉, 불확정성 원리라는 것은, 주어진 공간 안에서 정확한 전자의 위치와 운동량을 파악할 수 없고,

이를 변화량을 곱한 값을 짐작해 볼 수 있다는 것입니다.