슈뢰딩거 방정식 (2) - 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식

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슈뢰딩거 방정식 (1) - 파동함수 (wave function)

지난 포스팅에서 파동함수에 대하여 알아보았습니다.

 

\(\psi(x)\)는 공간적 특성 , exp(-j\(\omega\)t) 는 시간 의존적인 함수로서 각 주파수 (angular frequency)

\(\omega\) = E/ħ 를 사용하여 표현한다고 하였습니다.

이때 \(\psi(x)\)를 결정하여 전자의 행동을 묘사하는 방정식을 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식 이라고 합니다.

 

이러한 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식은 말 그대로 (time independent) 시간에 무관한 방정식 입니다.

우선 1차원에서 생각해보면, \(\frac{d^2\psi}{dx^2}\) + (2m/ħ)*(E-V)\(\psi\)=0 으로 나타낼 수 있습니다.

여기서 m은 전자의 질량을 의미합니다.

3차원에서 생각해보면, 간단히 y,z에 대한 성분만 추가하면 됩니다.

\(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\)+\(\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}\)+\(\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}\)+(2m/ħ)*(E-V)\(\psi\)=0 

 

여기서 식을 품으로써 \(\psi\)를 구할 수 있습니다. 

이때 \(\vert\Psi(x,y,z,t)\vert^2\) = \(\vert\psi(x,y,z)\vert^2\)가 됩니다.

이것은 정상상태에서는 확률분포가 \(\vert\psi(x,y,z)\vert^2\) 이렇게 됨을 알 수 있습니다.

 

슈뢰딩거 방정식을 푸는 데에는 2가지 경계조건 (boundary condition)이 사용됩니다.

첫번째는 \(\psi\)가 단일 값을 가져야 한다는 것, 두번째는 \(\psi\)가 부드럽게 연속이어야 한다는 것입니다.

이를 3가지 그래프로, 불가능한 상황을 생각해 보겠습니다.

 

위는 연속이 아닙니다.

위는 부드럽게 연속이지 않습니다. 즉, \(\frac{d\psi}{dx}\)이 연속이 아닙니다.

위는 \(\psi(x)\)가 단일값을 가지지 않습니다.

따라서 각각의 이유로, 경계조건을 만족하지 않는 것입니다.

 

이러한 조건을 만족하는 특정 파동함수만이 존재할 수 있는데, 이를 이 계의 고유함수 (eigenfunction) 이라고 하며, 이것이 정상상태에서의 전자의 행동과 에너지를 결정하게 됩니다. 

이때는 정상상태만을 고려하고 있다는 것을 주의해야합니다.