슈뢰딩거 방정식 (1) - 파동함수 (wave function)

전자가 간섭이나 회절등의 현상을 보이는 것을 보면, 파동으로서의 특징을 가지고 있습니다.

이러한 파동으로서의 모습을 나타낸 방정식이 바로 슈되딩거 방정식 입니다.

우선 본격적으로 들어가기 전에, 파동함수 (wave function)이라는 개념에 대한 이해가 필요합니다.

 

파동함수의 구조에 대해 알아보면,

\(\Psi\) 라고 쓸 수 있으며, 이는 실수(real)와 허수(imaginary) 부분으로

구성된 복소수(complex)의 형태입니다.

즉, \(\Psi\) = a+bi의 형태입니다.

이때, 파동함수의 크기의 제곱은 특정시간에, 단위길이 (혹은 부피)에서 '전자를 발견할 확률을 의미합니다.'

정리하면, \(\vert\Psi\vert^2\) = 특정시간, 단위 시스템 상 전자를 발견할 확률(probability)

또한 파동함수의 켤레 복소수 (complex conjugate)형태를 \(\Psi^*\)라고 쓰며

\(\Psi\) = a+bi 일때 \(\Psi^*\) = a-bi 가 됩니다.

\(\vert\Psi\vert^2\) = \(\Psi\)X\(\Psi^*\) 입니다.

따라서 \(\vert\Psi\vert^2\) = \(a^2+b^2\)인 것이지요. (\(i^2\)=-1)

 

이제 위에서 알아본 파동함수를 1차원에서 생각하냐, 3차원에서 생각하냐로 나누어 보겠습니다.

1차원에서는, \(\vert\Psi(x,t)\vert^2\)dx = x와 x+dx의 위치에서 t라는 시간일때 전자가 있을 확률

3차원에서는, \(\vert\Psi(x,y,z,t)\vert^2\)dxdydz = 시간 t일때 x,y,z의 위치에 있는 미소 체적 dx dy dz 에서 전자를 발견할 확률을 의미합니다.

이를 그림으로 살펴보면, 

위와 같이, \(\vert\Psi(x,t)\vert^2\)dx 를 통해 전자가 있을 확률을 확인할 수 있는 것입니다.

 

이때 전자의 파동함수를 계산하기 위해서는 전자가 주변과 어떤 식으로 상호작용하는 지를 알아야 합니다.

우선 위치 에너지 V(x,t)에 의해 나타난 전자가 받게 되는 힘은 F=-\(\frac{dV}{dx}\)입니다.

예를들어, 전자가 양전하에 의해 인력을 받는다면 정전 위치 에너지는 

V(r) = -\(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_{0}r}\)로 표현됩니다.

이때 전자의 위치에너지가 시간에 무관하다면 V=V(x)이므로 (t에 대한 함수가 아님)

\(\Psi\)(x,t) = \(\psi(x)\)exp(-jEt/ħ)로 표현할 수 있습니다.

위와 같이 나누었으므로 \(\psi(x)\)는 공간에 대한 특성만을 표현하고 있고  이것은 정상상태에서의 전체 파동함수입니다 (steady state total wave function)

여기서 exp(-jEt/ħ) 의 E/ħ=\(\omega\) 로 쓰며 (각 주파수로 표현) exp(-j\(\omega\)t)에 해당됩니다.

정리하면, 식 \(\Psi(x,t)\) = \(\psi(x)\)exp(-j\(\omega\)t)에서

\(psi(x)\)는 공간적 특성 , exp(-j\(\omega\)t) 는 시간 의존적인 함수로서 각 주파수 (angular frequency)

\(\omega\) = E/ħ 를 사용하여 표현합니다.

이때 \(\psi(x)\)를 결정하여 전자의 행동을 묘사하는 방정식을 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식 이라고 합니다.

이를 다음 포스팅에서 알아보도록 하겠습니다~