광자 (2) - 흑체복사 (black body radiation)/레일리진스 법칙-자외선 파탄/플랑크 법칙/오실레이터 에너지/oscillator energy

모든 물체는 에너지를 복사, 즉 빛의 형태로 내놓거나 흡수합니다.

만약 물체의 온도가 높다면, 주변에 에너지를 내놓으면서 온도가 낮아질 것입니다. (열평형 과정)

이때 물체로부터 방출될 수 있는 최대 복사에너지의 양을 흑체복사라고 합니다.

이에 관하여 레일리 진스가 (Rayleigh-Jeans) 실험을 진행하였는데 그 결과가 Rayleigh-Jeans Law로 알려진 함수인데,

파장(\(\lambda\))과 단위 파장당 단위 면적당 방출되는 에너지 \(I_{\lambda}\)와의 관계식을 도출하고,

각각 온도별로 달라짐을 확인하였습니다.

먼저 그래프로 알아보도록 하겠습니다.

먼저 파장의 세기 \(I_{\lambda}\)가 파장에 따라 \(I_{\lambda} = \frac{1}{\lambda^4}\) 임을 알아냈습니다.

또한 온도에 따라 바뀜을 확인하였습니다. (\(I_{\lambda}\propto T\))

위의 그래프를 보더라도, 파장에따라, 그리고 온도에 따라 그리는 궤적이 다름을 알 수 있습니다.

식으로, \(I_{\lambda}=u(\nu)d\nu = \frac{8{\pi}kT}{c^3}\nu^2d\nu\) 로 표현했는데,

(\(u({\nu})\)는 에너지 밀도,\(\nu\)는 주파수)

그런데, 그래프의 검정색 괄호부분, 즉 파장 1500nm이하에서는 거의 식과 다르게 됩니다. 이를 Ultraviolet catastrophe라고 합니다.

이를 보완하기 위해 막스 플랑크가

u(\(\nu\))d\(\nu\)=\(\frac{8{\pi}h}{c^3}\)\(\frac{\nu^3d\nu}{e^{h\nu/kT}-1}\) 라는 식을 고안해 냅니다.

이것이 Plank radiation formula이고

여기서 플랑크 상수 h=6.626X\(10^{-34}\)Js를 도입합니다.

이는 높은 주파수에서도 성립하게 됩니다. (파장이 짧은 부분)

높은 주파수 (즉 파장이 짧은 부분)에서는 h\(\nu\) >>kT 이고,

\(e^{h\nu/kT}->\infty\) 가 되어

플랑크 식 u(\(\nu\))d\(\nu\)->0이 되게 됩니다.

이는 위의 그림과 일치하는데 파장이 0에 도달하면 0에 도달하는 것입니다. (\(I_{\lambda}=u(\nu)d\nu\))

반대로 낮은 주파수에서는 레일리-진스 의 식과 거의 비슷하게 됩니다.

이는 테일러 급수를 통해 설명할 수 있는데, \(e^x\)는 x->0일때, 테일러 급수에 의해 \(e^x\)=1+x로 표현할 수 있습니다.

그렇다면 플랑크 함수 u(\(\nu\))d\(\nu\)=\(\frac{8{\pi}h}{c^3}\)\(\frac{\nu^3d\nu}{e^{h\nu/kT}-1}\) 에서 \(e^{h\nu/kT}\)->1+\(\frac{h\nu}{kT}\)가되어서 

쉽게 정리하면 u(\(\nu\))d\(\nu\)=\(\frac{8{\pi}h}{c^3}\) X \(\nu^3d\nu\) X \(\frac{kT}{h\nu}\)가 되어서

레일레이 식이 유도되게 됩니다.

 

이렇게 식을 만들고 나서, 플랑크는 이 식을 설명하기 위해

oscillator energy라는 개념을 도입합니다. 이는 에너지의 양자화를 나타내고 있습니다 

식으로, \(\epsilon_n=nh\nu\) (\(\epsilon\)은 에너지를 뜻합니다 (E라고 생각하면됨))

이것을 통해, 플랑크가 양자역학의 문을 열게 된 셈이지요.