고체의 확산 (4) - 피크의 제 2 법칙 (비정상상태 확산)/가우시안 오차함수를 사용 / 확산종과 온도

 

 

고체의 확산 (3)에서 정상상태의 확산에 대해 알아 보았다.

하지만 실제로는 확산이 되며 계속해서 원래의 농도도 변하는 법이다.

따라서 고체 내의 특정 위치에서 확산선속과 농도구배가 시간에 따라 변하게 된다. 확산 종이 축적되거나 고갈 되는 것이다. 

이것은 피크의 제 2법칙으로 설명할 수 있다.

제 1법칙이 J=-D\(\frac{dC}{dx}\)이고 

이때 

\(\frac{∂C}{∂t}\)=\(\frac{∂}{∂x}\)(D\(\frac{∂C}{∂x}\))=\(\frac{∂^2C}{∂x^2}\)

 

이것을 생각해 보면 x와 C의 그래프

에서 미소 점에서 판단해보면 두번 미분한 정도로 그래프로 나타내면

이러한 형태이다.

물리적으로 의미 있는 경계 조건이 주어졌을때, 이런 방정식의 해를 구할 수 있다. (수집된 결과값들이 있다.) 실제적으로 중요한 하나의 해는 표면 농도가 일정하게 유지되는 반 무한대의 고체의 경우이다. 흔히 확산종의 공급원은 기상이고 일정한 분압을 유지한다. 그외에는 

1. 확산전, 확산하는 용질 원자는 기상이며, 농도 C0로 고체 내에 균질분포되어있다.

2. x의 값은 표면에서 0이고, 고체속으로 들어감에 따라 증가한다.

3. 확산이 시작되기 직전의 시간을 0이라고 한다.

이러한 조건들 하에

이제 이렇게 나타낼 수 있는데,

\(\frac{C_x-C_0}{C_s-C_0}\)=1-erf(\(\frac{x}{2√(Dt)}\)) 이다.

Cs는 표면의 일정했던 농도이고

Cx는 t시간후 깊이 x에서의 농도이다.

이때 erf(z)는 가우시안 오차 함수로

그 값은 실험적으로 정해져 있다.

그렇다면 erf속 항인 \(\frac{x}{2√(Dt)}\) 중 문제에 따라

x를 주어주고 t를 구하는 등의 계산을 취할 수 있다.

문제에 따라 보간법등의 방법을 사용할 수도 있다.

 

확산은 여러가지 인자들의 영향을 받는다.

 

크게 두가지를 살펴보자.

 

1. 확산종

 

확산계수 D는 원자가 확산하는 속도를 나타내는 수치이다.

확산 종과 모재료는 확산계수에 영향을 미친다.

예를들어 500도의 알파철 내에서 자체 확산과 탄소의 상호 확산의 확산계수의 크기는 눈에 띌정도의 차이가

나며 탄소의 상호 확산의 경우가 더 큰 D의 값을 가지게 된다.

이것은 원자 빈자리를 통한 확산과 격자간 원자를 통한 확산에서의 속도차이인데,

자체 확산은 원자 빈자리를 통해 일어나는 반면, 철 속의 탄소의 확산은 침입형으로, 격자간 원자를 통한 확산이다.

격자간 위치가 훨씬 많게 되므로 탄소의 상호 확산의 경우가 큰 D를 가지게 되는 것이다.

 

2.온도

 

온도는 확산 계수와 확산 속도에 가장 큰 영향을 미치게 되는데, 이러한 확산 계수의 온도 의존성은 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

D = \(D_0\) exp(-\(\frac{Q_d}{RT}\)) 이다.

여기서 \(D_0\) 는 온도와 무관한 선지수

\(Q_d\) 는 확산의 활성화 에너지

R은 기체상수

T는 절대 온도이다.

활성화 에너지는 원자 1몰을 확산 이동하는데 필요한 에너지이다.

따라서 확산계수는 활성화 에너지가 낮을수록, 온도가 높을수록 높아지게 된다.

이 식의 양변에 자연 로그를 취하면

lnD = ln\(D_0\) - \(\frac{Q_d}{RT}\)이다.

이를 상용로그로 바꿔주면 다음과 같아진다.

logD = log\(D_0\) - \(\frac{Q_d}{2.3RT}\)

여기서 \(D_0\),\(Q_d\),R은 모두 상수이므로 이 식은 직선 형태를 취하고 있다.

따라서

logD = y

log\(D_0\) = b

-\(Q_d\)/2.3R = m

1/T = x로 치환하여

y = mx+b로 나타낼 수 있다.